『はじめてのトポロジー つながりの幾何学』
1章 形とはなんだろうか
図形
三角形、長方形、四角形、円
2章 つながり方の幾何学
グラフ
必要条件
出発点に戻ってくる一筆書きが可能なグラフなら、通過頂点が偶頂点である
十分条件
グラフが一筆書きできるなら、すべて偶頂点か、または、奇頂点がちょうど二つだけである。その二つの奇頂点は出発点と終点でなければならない。
必要十分条件
グラフGが一筆書きできる必要十分条件は、Gのすべての頂点が偶頂点、あるいはGがちょうど2つの奇頂点をもつことである。さらにすべてが偶頂点である場合は、任意の頂点から出発し、その点に戻ってくる散歩道があり、奇頂点2つの場合は、その片方の奇頂点から出発し、もう一方の基調点で終わる散歩道がある。
偶頂点、奇頂点。辺の数が偶数か奇数か
ここで切ったり貼ったりの話題が出てきた？
グラフの辺をちょうど一回だけとおる道
グラフの辺をちょうど一回だけとおる道でかつ、一周して戻ってくる道
グラフの頂点をちょうど一回通る道
グラフの頂点をちょうど一回通って、一周して戻ってくる道
3章 曲線のトポロジー
トポロジー
グラフ: 点と線をつないだグラフ
連結
連結グラフ
非連結グラフ
ベッチ数
グラフの連結成分の個数
0次元ベッチ数
グラフの連結成分の個数
1次元ベッチ数: グラフ Gからうまく n本の辺を選んで取り去っても Gが連結したままだが ， n ＋ 1本の辺をどう取り去っても Gが連結でなくなるとき ， Gの 1次元ベッチ数は nであるという 。
一本道の繋がりしかないグラフは1次元ベッチ数0
環状線のグラフは1次元ベッチ数1
ツリー
1次元ベッチ数が0であるグラフをツリーと呼ぶ
ツリーの頂点数aと変数bの間には以下の関係がある
$ a-b =1
グラフGの頂点の数をa、変の数をb、1次元ベッチ数を$ p^i とするとき、次の式が成り立つ
$ a - b = 1 - p^i
ベッチ数
4章 曲面のトポロジー
曲面とは何か
曲面: ある図形 Mの上の任意の点 Pについて ， Pの周囲が円板と同じ形をしているとき ，その図形を曲面という 。 →円板になるものが曲面
円板の上？にさらに円板がくっついてるとこにPがあると曲面ではない
柔軟に面？を切り貼りして辺の向きが合うようにつなげる。
メビウスの帯: 一対の辺の向きが同じかつ、一対の辺の向きが違う
トーラス: タイヤチューブみたいな図形。正方形の二対の辺の向きが同じ
クライン管: 4次元じゃないと繋げられないとかなんとか
ハンドル
種数2のトーラス
種数とは曲面に空いた穴の数
本間のトーラス
射影平面: 正方形の二対の辺の向きがどちらも違うもの
十字帽
5章 曲面のホモロジーとホモトピー
曲面$ M 上の閉曲線を曲面上の切断線といい、その切断線が曲面を2つの部分に分けるとき、その閉曲線をホモローグ0の切断線という。 球面の曲面
ホモローグ0
球面の1次元ホモロジー群は0。ホモローグ0でない切断線が1本もない。
トーラス上のホモローグ0でない切断線
縦方向に$ n 回、横方向に$ m 回回る切断線を$ (n,m) 、$ Z \oplus Z = \{ (n,m) | n,m \in \mathbb{Z} \}
$ (n,m) というペアは$ nz_1 + mz_2 を表す。$ z_1,z_2 は切断線。
曲面$ M の1次元ホモロジー群を$ H_1(M)
球面$ S : $ H_1(S) = 0
種数$ n のトーラス
$ T_n : H_1(T_n) = Z \oplus Z \oplus ... \oplus Z(2n個)
$ Z はトーラスの切断線
クライン菅$ K : H_1(K) = Z \oplus Z_2
射影平面$ P : H_1(P) = Z_2
球面$ S の1次元ホモトピー群は0。
$ \pi_1(S) = 0
基本群か0となる曲面を単連結な曲面という。
確認用
Q. ケーニヒスベルクの橋渡り問題
[]つの橋をちょうど一回で渡りきれる散歩コースは存在するか
Q. 0次元ベッチ数
[]がただ一つのグラフ
Q. クライン菅とは
Q. 射影平面とは
Q. ハンドルとは
Q. パイピングとは
Q. ねじれパイピング
Q. 閉曲面とは
Q. 閉曲線とは
Q. 曲面上の切断線とは
Q. ホモローグ0でない切断線